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2020-2021-2 计算机系统 ​

2020-2021学年第二学期 计算机系统

基于32位系统

随上课进度更新

位、字节与信息存储 ​

机器字长 ​

指明整数和指针数据标称大小

位级操作 ​

• 一个内存地址存放的是一个字节（8个bit）；
• 地址指明的是某个字节的存放位置；
  • 即某数据第一个字节所在位置；
  • 因此连续存放的两个字之间相隔4个地址（32位字长）或8个地址（64位字长）。

大小端 ​

举例：

$0x1234

（小端：高地址、高有效位在后面）

位移 ​

左移：x << y

将x左移y位，在右边填0。

右移：x >> y

逻辑移位：补0

算术移位：填充符号位

整数 ​

整形数据取值范围 ​

不详细记录。

整数编码 ​

假设一个整型数据有w位，用位向量的形式表示这个数的二进制。

无符号数 ​

每个介于0 ~ 2^w - 1之间的数都有唯一一个的w位的编码。

补码 ​

最高有效位是符号位。

（函数表示待补）

例：

B2T 4 ([0001]) = -0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1

B2T 4 ([0101]) = -0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 0 + 4 + 0 + 1 = 5

B2T 4 ([1011]) = -1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5

B2T 4 ([1111]) = -1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = -8 + 4 + 2 + 1 = -1

显然，补码的范围是不对称的，|Tmin| = |Tmax| + 1。

补码、补码值盒子

整数表示

求补码的其他方法？

C语言中的整数 ​

• 常数
  • 默认是有符号数；
  • U作为无符号数的后缀，如0U，1234U。
• 转换
  • 用(类型)来转换，位模式不变，按转换后的类型重新解释；
  • 也可以通过赋值语句和过程调用来实现。

特殊情况 ​

• 表达式
  • 如果一个表达式中同时出现有符号数和无符号数，有符号数直接转成无符号数；
  • 上述表达式包括比较运算：<，>，==，<=，>=。

例：w = 32，Tmin = -2147483648，Tmax = 2147483647

整数的扩展与截断 ​

• 符号位扩展

  • 将w位的有符号数x转换为(w+k)-bit的整数，保持值不变。
  • 参考算术移位，符号位是几就在高位补充几。

• 截断（例如从无符号整型变成无符号短整型）

  • 对于无符号数就是mod操作
  • 对于有符号数，类似于mod，剩下的以补码解释。

    例：

    int x = 53191;

    short sx = (short)x; //-12345

加法 ​

无符号数加法 ​

忽略最高进位。

通过取模来实现。

补码加法 ​

舍弃最高位，按补码解释。

• 若sum >= 2^(w-1)，补码结果为负数，为正溢出，导致结果减少；
• 若sum <= -2^(w-1)，补码结果为正数，为负溢出，导致结果增加。

乘除法 ​

乘法 ​

乘积有2w位，忽略乘积的高w位；

用移位代替乘法：左移乘，右移除；

除法 ​

• 除数为无符号数时使用逻辑右移；

• 除数为有符号数时使用算术右移；

• 除法的修正

  • 加偏置值

浮点数 ​

• 二进制小数点右侧的“位”表示2的分数幂（负幂）；
• 其他值只能近似表示。

例：0.101(2) = 0.5 + 0.125 = 0.625。

IEEE浮点数 ​

• 数学形式：(-1)^s M 2^E
  • 符号位s，确定这个数是正数还是负数，数值0的符号位特殊处理；
  • 尾数M是一个二进制小数，通常规定在范围1 ~ 2-ε或0 ~ 1-ε；
  • 阶码E表示2的幂。

浮点数的三种情况 ​

1. 规格化的值

   当exp的位模式既不全为0，也不全为1时都属于这种情况；

   阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数，阶码的值E = e - Bias，其中e是无符号数其位表示为e(k-1)…e(1)e(0)，而Bias是一个等于2^k-1 - 1的偏置值；

   小数字段frac被解释为描述小数值f，其中0 <= f < 1。

   例：

   float F = 15213.0；

   15213(10) = 11101101101101(2) = 1.1101101101101(2) * 2^13；

   • 尾数
     • M = 1.1101101101101(2)；
     • frac = 11011011011010000000000(2)；
   • 阶码
     • E = 13；
     • Bias = 127；
     • Exp = 140 = 10001100(2)；
   • 结果
     • 0 10001100 11011011011010000000000

2. 非规格化的值

   当阶码域全为0时，所表示的数就是非规格化形式。在这种情况下，阶码值是E = 1 - Bias，而尾数的值是M = f，也就是小数字段的值，不包含隐含的开头的1。

   • 例：
     • exp = 000…0，frac = 000…0，此时值为0，符号位决定“+0”或“-0”；
     • exp = 000…0，frac != 000…0，此时为非常接近0.0的数。

3. 特殊值

   当阶码全为1的时候出现。

   • 情况1：
     • exp = 111…1，frac = 000…0，表示的是无穷大，由符号位决定正负；
     • exp = 111…1，frac != 000…0，表示的不是一个数（NaN），用来表示一些无法表示的数，如sqrt(-1)等，在某些应用中也可用来表示未初始化的数据。

舍入 ​

四种舍入方式示例：

向偶数舍入能找到最近的匹配值，其他三种用于计算上界和下界。

向偶数舍入也可以舍入到其他数位：

• 中间值舍入到偶数；
• 例如，舍入到百分位：
  • 1.2349999 -> 1.23；
  • 1.2350001 -> 1.24；
  • 1.2350000 -> 1.24；
  • 1.2450000 -> 1.24。

向偶数舍入法能够运用于二进制小数。

• 将最低有效位的值0认为是偶数，值1认为是奇数；
• “中间值”是指舍入位的右边正好是**100…(2)**的形式；
• 例如，舍入到1/4（小数点右边两位）：
  • 2 3/32，即10.00011(2)，小于中间值，结果为10.00(2)，即2
  • 2 3/16，即10.00110(2)，大于中间值，结果为10.01(2)，即2 1/4
  • 2 7/8，即10.11100(2)，等于中间值，结果为11.00(2)，即3
  • 2 5/8，即10.10100(2)，等于中间值，结果为10.10(2)，即2 1/2

浮点运算 ​

浮点数加法 ​

1. 对阶，小阶向大阶对齐
   • 两数的阶码不同，表示小数点的位置没有对齐；
   • 将原来阶码小的数的尾数右移|ΔE|位，其阶码值加上|ΔE|，即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变（但精度变差了）；
2. 尾数进行加法运算
3. 结果规格化并进行舍入处理
   • 如果尾数不是规格化数，需要进行规格化处理，并进行舍入；
4. 判断溢出
   • 根据阶码判断是否溢出。

浮点数加法的数学特性 ​

• 与阿贝尔群比较
  • 有交换性；
  • 没有结合性（由于舍入）；
  • 3.14 + 1e10 - 1e10 = 0；
  • 3.14 + (1e10 - 1e10) = 3.14；
• 单调性
  • 如果a >= b，对于任何a、b以及x的值，除了NaN和无穷大，都有x + a >= x + b，而无符号数加法或补码加法不具有这个实数、整数加法的属性。

浮点数乘法 ​

(-1)^s1 M1 2^E1 * (-1)^s2 M2 2^E2

• 精确结果：(-1)^s M 2^E
  • 符号位s：s1 ^ s2；
  • 尾数M：M1 * M2；
  • 阶码E：E1 + E2；
• 调整
  • 如果M >= 2，M右移一位，E = E + 1；
  • 如果E超出表示范围，溢出；
  • 将M舍入到frac的位数范围。

浮点数乘法的数学特性 ​

• 可交换性
  • a * b = b * a；
• 不可结合性
  • a * b * c != a * (b * c)；
• 不具备分配性
  • a * (b + c) != a * b + a * c；
• 单调性
  • 若a >= b且c >= 0，则a * c >= b * c，（都不等于NaN或无穷大）。

C语言中的浮点数 ​

float & double

• 转换
  • double/float -> int
    • 值向零舍入，对于无法表示或超出范围的值未定义；
  • int -> double
    • 能有效保留精确值；
  • int -> float
    • 数字不会溢出，可能会被舍入。